医療保険（あなたが会社員）－離婚後の生活

現在も会社員や公務員として働いているなら、夫とは別の医療保険に入っており、離婚後も変わることはありません。
ただ、氏が変わる場合には、会社の労務担当者に言って変更してもらいましょう。仕事中は通称として婚姻中の氏のままでいることはできますが、保険証はそうはいきません。

離婚したことを知られたくないこともあると思いますが、口外しないようにお願いするくらいです。
個人のプライバシーに関することなので、その程度のことを守れないようでは、社員の労務担当は行えないはずです。